2002年考研数学一真题(11)

知,Ax 0的基础解系是(1, 2,1,0).

T

1 1 1 1

A 知,(1,1,1,1)T是Ax 的一个特再由 1 2 3 4 ( 1, 2, 3, )4

1 1 1 1

1 1

2 1

解.故Ax 的通解是k ,其中k为任意常数.

1 1 0 1

十、【解】

(1)若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使P

1

AP B,故

E B E P 1AP P 1 EP P 1AP

P 1( E A)P P 1 E AP E A.

01 00 2

A ,B (2)令 00 00 ,那么 E A E B.

但A,B不相似.否则,存在可逆矩阵

P,使P 1AP B 0.从而A P0P 1 0,矛盾,亦可从

r(A) 1,r(B) 而知0A与B不相似.

(3)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵,若A,B的特征多项式相等,记特征多项式的根为 1,L

, n,则有

1

,B也相似于 O

n

. n

1

OA相似于

1

1

O即存在可逆矩阵P,Q,使PAP

于是(PQ

1 1

Q 1BQ. n

)A(PQ 1) B.由PQ 1为可逆矩阵知,A与B相似.