2002年考研数学一真题(9)

于是要用分块积分法,用

y x将D分成两块:

D D1UD2,D1 DI{y x},D2 DI{y x}.

I emax{x

D1

2

2

,y2}

dxdy emax{x

D2

2

2

,y2}

dxdy

exdxdy eydxdy 2 exdxdy(D关于y x对称)

D1

D2

D1

2

2 dx exdy(选择积分顺序) 2 xexdx ex

1x

2

1

22

10

e 1.

六、【分析与求解】

(1)易知Pdx Qdy 原函数,

Pdx Qdy

1x1

dx yf(xy)dx xf(xy)dy 2dy 2(ydx xdy) f(xy)(ydx xdy) yyy

xxxy

d() f(xy)d(xy) d[ f(t)dt].

yy0

在y 0上Pdx Qdy 原函数,即u(x,y) 积分I在y 0与路径无关.

(2)因找到了原函数,立即可得I

七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数

xyx

f(t)dt. y0

u(x,y)

(c,d)(a,b)

ca . db

x3x6x9x3n

y(x) 1 L L

3!6!9!(3n)!

的收敛域是(

x ),因而可在( x )上逐项求导数,得

,

x2x5x8x3n 1

y'(x) L L

2!5!8!(3n 1)!

x4x7x3n 2

y''(x) x L L

4!7!(3n 2)!

所以

,

x2xn

y'' y' y 1 x L L ex( x ).

2!n!

x

(2)与y'' y' y e相应的齐次微分方程为y'' y' y 0,

其特征方程为

2

1 1 0,

特征根为 1,2 i.

22

e(C1cos

x2

因此齐次微分方程的通解为Y

x C2sinx). 22

设非齐次微分方程的特解为

y Aex,将y 代入方程y'' y' y ex可得

11

A ,即有y ex.

33

于是,

方程通解为

y Y y e(C1cos

x

2

1x C2sinx) ex. 223

1

y(0) 1 C ,1 23

C1 ,C2 0. 当x 0时,

有

3 y'(0) 0 1C 1.

12

23

x

2 21x3n

x ex( x ) 于是幂级数

的和函数为y(x) e33n 0(3n)!

八、【分析与求解】

(1)由梯度向量的重要性质:函数h(x,y)在点M处沿该点的梯度方向

gradh(x,y)

(x0,y0) {

h h

,(x0,y0) { 2x0 y0, 2y0 x0} x y

(x0,y0)

方向导数取最大值即gradh(x,y)

的模

, g(x0,y0)

2

(2)按题意,即求g(x,y)求在条件x y2 xy 75 0下的最大值点