相似三角形中证明技巧(3)

又 ADN BCM ∴ AN=CM

∴ AB AE AD AF AC(AM CM) AC

三、作延长线

例5. 如图，Rt ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG AB于G，求证：FG=CF

BF

2

2

解析：欲证式即

FGCF

由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可

BFFG

能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角

形来求解。

不妨延长GF与AC的延长线交于H

AFFGFH

AEEDECFGFH∴ EDEC

则

又ED=EC ∴FG=FH 又易证RtΔCFH∽RtΔGFB ∴

CFFH

∴FG·FH=CF·BF

FGBF

∵FG=FH ∴FG2=CF·BF 四、作中线

例6 如图， ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。

解：取BC的中点M，连AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C

又 BD=DC ∴ DBC DCB ∴ 1 C DBC