相似三角形中证明技巧(4)

∴ MAC∽ DBC ∴ ∴ AC

1MCAC

又 DC=1 MC=BC

2DCBC

MC BC1

BC2（1）

DC2

又 Rt AEC∽Rt BAC 又 ∵ EC=1 ∴ AC2 CE BC BC（2）

由（1）（2）得，AC

1

AC4 ∴ AC 2 2

小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造 MAC与 DBC相似是解题关键 练习题

1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。 求证：EF×BC=AC×DF

2、 ABC中， ACB 90 ，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：PA:PB CM:CN。

例1： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．

求证： BC2＝2CD·AC．

证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC， ∵BD⊥AC于D，

∴BD是线段CE的垂直平分线， ∴BC=BE，∴∠C=∠BEC， 又∵ AB＝AC， ∴∠C=∠ABC．

∴ △BCE∽△ACB．

∴

B

C

BCACBCAC

， ∴

CEBC2CDBC

2

∴BC＝2CD·AC． 证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE， ∵ AB＝AC，

E

∴ AB＝AC=AE． ∴∠EBC=90°， 又∵BD⊥AC．

∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，

∴∠E=∠DBC，

∴△EBC∽△BDC ∴

BCCEBC2AC

即

CDBCCDBC

1

BC） ：如图，取BC的中点E，连结AE，2

∴BC2＝2CD·AC． 证法三（构造

1

则EC=BC．

2

又∵AB=AC，

∴AE⊥BC，∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE∽△BCD．

B

1BC

CEACAC∴即． CDBCCDBC

∴BC2＝2CD·AC． 证法四（构造

11

：如图，取BC中点E，连结DE，则CE=BC ． BC）

22

∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，

∴∠EDC=∠C

又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∴△ABC∽△EDC．

BCACBCAC∴J即． CDECCD1

BC2

∴BC2＝2CD·AC．

例2．已知梯形ABCD中，AD//BC，BC 3AD，E是腰AB上的一点，连结CE

（1）如果CE AB，AB CD，BE 3AE，求 B的度数；

（2）设 BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且

B

2S1 3S2，试求

BE

的值 AE

（1）设AE k，则BE 3k

解法1 如图，延长BA、CD交于点F

BF 3AF AF 2k， AD//BC，BC 3AD，

E为BF的中点

又CE BF BC CF，又CF BF BCF为等边三角形 故 B 60

解法2 如图

作DF//AB分别交CE、CB于点G、F 则CE DF，得平行四边形ABFD 同解法1可证得 CDF为等边三角形 故 B 1 60 解法3 如图

作AF//EC交CD于G，交BC的延长线于F 作GI//AB，分别交CE、BC于点H、I 则CE GI，得矩形AEHG

AF//CE

BCBE

3， CFAE

又BC 3AD CF AD，故G为CD、AF的中点 以下同解法1可得 CGI是等边三角形 故 B 1 60

解法4 如图，

作AF//CD，交BC于F，作FG//CE，交AB于G，得平行四边形AFCD，且FG AB

读者可自行证得 ABF是等边三角形，故 B 60 解法5 如图

延长CE、DA交于点F，作AG//CD，分别交BC、CE于点G、H，得平行四边形AGCD

可证得A为FD的中点，则AH 2k，故 1 60 得 ABG为等边三角形，故 B 60 解法6 如图（补形法），

读者可自行证明 CDF是等边三角形， 得 B F 60

（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）

（2）设S BCE 3S，则S四边形AECD 2S 解法1（补形法）如图

补成平行四边形ABCF，连结AC，则DF 2AD 设S ACD x，则S ACE 2S x，S CDF 2x 由S ABC S ACF得， 3s 2s x x 2x， x

5s 4