相似三角形中证明技巧(6)

h14BE4BE ， ，故 4 h25AB5AE

说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅

助线，构造相似三角形.

例3．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，于G．求AG：AC的值．

解法1： 延长FE交CB的延长线于H， ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴

AF

1AD3，连E、F交AC

AD//BC，∴ ∠H=∠AFE，

∠DAB=∠HBE

又AE=EB，∴ △AEF≌△BEH，即AF=BH，

∵

AF

111ADAF BCAF CH334，∴ ，即．

∵ AD∥CH，∠AGF=∠CGH，∠AFG=∠BHE，∴ △AFG∽△CGH．∴ AG：GC=AF：

CH，

∴ AG：GC=1：4，∴ AG：AC=1：5．

解法2： 如图4—2，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知，即AB∥MC，

∴ AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC． ∵

AB//DC，

AF

1AD3，∴ AF：FD=1：2，

∴ AE：MD=1：2．

∵

AE

11

AB DC22．∴ AE：MC=1：4，即AG：

GC=1：4，

∴ AG：AC=1：5

例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.

解析：取CF的中点G，连接BG．∵ B为AC的中点， ∴ BG：AF=1：2，且BG∥AF，又E为BD的中点， ∴ F为DG的中点． ∴ EF：BG=1：2．

故EF：AF=1：4，∴ AF：AE=4：3．

例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O

点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．