第1章 解三角形教案(3)

之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

如图1．1-1，固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动。思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？Ⅱ.讲授新课

[探索研究] (图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有

a

sinA，c

bc

sinB，又sinC 1 cc

abc则 csinsinsinabc

从而在直角三角形ABC中， C a B

sinAsinBsinC

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB bsinA,则同理可得从而

a

sinA

b

sinB

，c

sinC

b

sinB

， A c B

sinAsinBsinC

(图1．1-3)

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作j AC， C 由向量的加法可得 AB AC CB

abc

则 j AB j (AC CB)

∴j AB j AC j CB j

jABcos 900 A 0 jCBcos 900 C