2012年全国高考(新课标)理科数学试题及答案(7)

2012年全国高考数学试题和答案

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112

AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1

（1）证明：BC DC ⊥1

（2）求二面角11C BD A --的大小。

【解析】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC =

得：45ADC ︒

∠=

同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠= 得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥

（2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥

取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H

1111

11A C B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1O H B D C H B D

⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角

设AC a =

，则12

C O =

，111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒

（20）（本小题满分12分）

设抛物线2

:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心， FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；

（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；

（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，

求坐标原点到,m n 距离的比值。