浅谈矩阵的一些形式论文定稿版(10)

毕业论文

3.3 逆矩阵

如果A和B为两个方阵，并且AB BA=I则B称为A的逆转，我们可写成B=A 1（B等于A的逆矩阵）.矩阵B亦有一逆矩阵A写成A=B 1.

123 6 2 3 100

11 = 010 =I，两个乘积中，任一个矩阵为另例3.31 因为 1330

1 124 10 001

一个矩阵的逆矩阵.但并非每一个方阵均有逆矩阵，在此我们可以证明如果A有一逆矩阵，则该逆矩阵也是唯一的.

C为三个方阵，例3.32 令A，B，并且AB I及CA I，则 CA B=C AB ，于是B=C，

因此，B C A 1为矩阵A的唯一逆矩阵.

如果A与B为同阶之方阵，且它们的逆矩阵分别为A 1与B 1，则 AB B 1 A 1，亦即两有逆矩阵的矩阵的乘积的逆矩阵为其个别逆矩阵反方向的乘积. 例3.33 证明： AB B 1 A 1. 由定义 AB

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AB AB AB

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I.故

B 1A 1 AB B 1 A 1A B B 1 I B B 1 B I 并且 AB B 1A 1 A BB 1 A 1 AA 1 I

由例3.33知 AB 为唯一的；因此 AB B 1 A 1.

若矩阵A2 I，即称A为对合矩阵，例如，单位方阵亦为一对合矩阵.一对合矩阵为其本身的逆矩阵.

例3.34 证明：若且若 I A I A 0，则矩阵A为对合.

证明 假设 I A I A I A2 0因此A2 I故A为对合. 假设 A为对合；则 A2 I故 I A I A I A2 0.

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