浅谈矩阵的一些形式论文定稿版(12)

毕业论文

如果有一方阵A，使得A'= A，则称A为反对称。因此如果aij aji（对于所有i，j）则A方阵必然反对称，很明显地，此时其对角元素均为零.

0 23

为反对称，并且kA也为反对称，k为任一纯量. 例3.52 A= 204

3 40

例3.53 证明：如果A与B均为n阶对称方阵，则AB为对称，若且唯若A与B可交换.

'

证明 假设A与B可交换，故AB BA。则 AB B' A' BA AB，因此AB为对称.

''

假设AB是对称的，因此 AB AB，又 AB B'A' BA；得

AB BA，故矩阵A与B可交换.

3.6 共轭矩阵

令a与b为实数且i 1；则z a bi称为复数.复数a bi与a bi称为共轭，其中一个为另外一个的共轭。若z a bi，其共轭复数写为z a bi.

如果z1 a bi且z2 z1 a bi，则z2 z1 a bi a bi，亦即复数的共轭复数的共轭即等于其本身.

如果z1 a bi且z2 c di则 (I)

z1 z2 a c b d i且z1 z2 a c b d i a bi c di z1 z2

亦即两复数之和的共轭为该二复数共轭之和. (Ⅱ)

z1 z2 ac bd ad bc i且z1 z2 ac bd ad bc i a bi c di z1 z2

亦即，两复数之积的共轭为该二复数共轭的乘积.

当矩阵A有复数的元素时，把A矩阵的元素变换为共轭，即称为A的共轭矩阵，写成A（A共轭）.

i i 1 2i 1 2i

例3.61 若A= 则= A 2 3i 2 3i 3 3