等腰三角形讲义1(15)

讲义

结论：”。

（1）请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P在△ABC内（如图（2））、点P在△ABC外（如图（3））这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明。

与h之间又有怎样的关系？

（2）若不用上述信息，你能用其他方法证明猜想结论吗？

答案与解析： 1．（1）如图，当C、D两点在线段AB的同侧时， ∵C、D两点在线段AB的垂直平分线上，

∴CA=CB，△CAB是等腰三角形，又CE⊥AB， ∴CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE， 而∠ACB=50°，∴∠ACE=25°，同理可得∠ADE=40°，

∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=40°-25°=15°。 （2）如图，当C、D两点在线段AB的两侧时，

同（1）的方法可得∠ACE=25°，∠ADE=40°， 于是∠CAD=180°-（∠ADE+∠ACE）

=180°-（40°+25°）=180°-65°=115°。 故∠CAD的度数为15°或115°。

2. （1）当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图1，

讲义

图1 图2 ∵BE=BC， ∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，

∵AD=AC， ∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2， ∵∠DCE=∠BEC-∠ADC，

∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2=（180°-∠ABC-∠BAC）÷2 =∠ACB÷2=40°÷2=20°。

（2）当点D、E在点A的同侧，且点D在D’的位置，E在E’的位置时，如图2，

＝∠ACB÷2=20°。

与（1）类似地也可以求得

（3）当点D、E在点A的两侧，且E点在E’的位置时，如图3，

图3 图4 ∵BE’=BC，∴

∵AD=AC， ∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2， 又∵ ∴

，

=180°-（180°-∠ACB）÷2

，

=90°+∠ACB÷2=90°+40°÷2=110°。

（4）当点D、E在点A的两侧，且点D在D’的位置时，如图4， ∵AD’=AC，∴

∵BE=BC，∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2， ∴

=180°-〔（180°-∠ABC）÷2+（180°-∠BAC）÷2〕 =（∠BAC+∠ABC）÷2=（180°-∠ACB）÷2 =（180°-40°）÷2=70°，

，

讲义

故∠DCE的度数为20°或110°或70°。

3.

（1）如图（2），当P在△ABC内时，结论

仍成立，

过P作NQ∥BC分别交AB、AC、AM于N、Q、K。 依题意，有 ∴

当P在△ABC外时，结论 （2）如图（3），连接PA、PB、PC

，易知KM＝PF＝

不成立，它们的关系是

又，由AB＝BC＝AC得，