等腰三角形讲义1(7)

讲义

【答案】（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x， ∴ 4x+4x+x=180°， ∴ x=20°， ∴ 4x=80°，

于是三角形的各个内角的度数为：20°，80°，80°。 （2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为4x， ∴ x+x+4x=180°， ∴ x=30°， ∴ 4x=120°，

于是三角形的各个内角的度数为：30°，30°，120°。 故三角形各个内角的度数为20°，80°，80°或30°，30°，120°。

【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论

等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。

【答案】设AB=AC，BD⊥AC；

（1）高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部， 如右图，∵∠DBC=25°，∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°，

∴ ∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-2×65°=50°。

图1

（2）当高与另一腰的夹角为250时， ①如图2，高在△ABC内部时， 当∠ABD=25°时，∠A=90°-∠ABD=65°，

∴ ∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=57.5°；

②如图3，高在△ABC外部时，∠ABD=25°， 图2

∴ ∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°，∴ ∠BAC=180°-65°=115°， ∴∠ABC=∠C=（180°-115°）÷2=32.5° 故三角形各内角为：65°，65°，50°或

65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°。

图3

【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论

在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角B的度数。

分析：题目中AB边上的垂直平分线与直线AC 相交有两种情形； 解：（1）如图，AB边的垂直平分线与AC边交于点D， ∠ADE=40°，

则∠A=900-∠ADE=50°，

∵AB=AC， ∴∠B=（180°-50°）÷2=65°。 （2）如图，AB边的垂直平分线与直线AC的反向 延长线交于点D，∠ADE=40°，则∠DAE=50°

∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-130°）÷2=25°， 故∠B的大小为65°或25°。