数学选修2-2第二章综合能力检测(7)

适合高二下期人教版2-2

证明：(1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点，所以EF∥BC，EF 面ABC，BC 面ABC.所以EF∥平面ABC.

(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱， 所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D， 又A1D⊥B1C，

所以A1D⊥平面BB1C1C， 又A1D 平面A1FD， 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

19．(本小题满分12分)求证：y＝ax＋2bx＋c，y＝bx＋2cx＋a，y＝cx＋2ax＋b(a，b，c是互不相等的实数)这三条抛物线中，至少有一条与x轴有两个交点．

证明：假设三条抛物线均与x轴无两交点，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3

1

＝4a2－4bc≤0，∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc≤0，即[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≤0，∴a＝b

2＝c，与a，b，c是互不相等的实数矛盾．故三条抛物线中，至少有一条与x轴有两个交点．

20．(本小题满分12分)已知函数f(n)(n∈N*)，满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N，④当x>y时，有f(x)>f(y)．

(1)求f(1)，f(3)的值；

(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式； (3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性．

解：(1)∵f(2)＝f(2×1)＝f(2)·f(1)，又f(2)＝2，∴f(1)＝1.又∵f(4)＝f(2·2)＝f(2)·f(2)＝4,2＝f(2)<f(3)<f(4)＝4，且f(3)∈N*.∴f(3)＝3.

(2)由f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝3，猜想f(n)＝n(n∈N*)． (3)用数学归纳法证明：

(ⅰ)当n＝1时，f(1)＝1，函数解析式成立． (ⅱ)假设n＝k时，f(k)＝k，函数解析式成立．

①若k＋1＝2m(m∈N*)，f(k＋1)＝f(2m)＝f(2)·f(m)＝2m＝k＋1.

②若k＋1＝2m＋1(m∈N)，f(2m＋2)＝f[2(m＋1)]＝f(2)·f(m＋1)＝2(m＋1)＝2m＋2， 2m＝f(2m)<f(2m＋1)<f(2m＋2)＝2m＋2. ∴f(2m＋1)＝2m＋1＝k＋1.

即当n＝k＋1时，函数解析式成立． 综合(ⅰ)(ⅱ)可知，f(n)＝n(n∈N)成立．

21．(本小题满分12分)已知数列a1，a2， ，a30，其中a1，a2， ，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11， ，a20是公差为d的等差数列；a20，a21， a30是公差为d的等差数列(d≠0)．

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