山东省滨州市博兴县第三中学2020_2021学年高二数(16)

- 16 - （2）求点B 到平面PEC 的距离．

【答案】（1）

4π；（2

）4 【解析】

【分析】

（1）建立空间直角坐标系，利用平面PEC 和平面PCD 的法向量，计算出二面角E PC D --的余弦值，由此求得二面角的大小.

（2）通过平面PEC 的法向量、直线BE 的方向向量，计算出点B 到平面PEC 的距离.

【详解】（1）以D 为原点，向量DA ，DC ，DP 的方向分别为x ，y ，轴的正方向建立空间直角坐标系，

设AD x =，由已知可得(0,0,0)D

，P ，(0,2,0)C ，1,,02E x ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

，

∴1,,2PE x ⎛= ⎝，3,,02EC x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，

∵PE EC ⊥，∴0PE EC ⋅=

，∴x ，

∴1,02E ⎫⎪⎪⎝⎭

，31,2

PE ⎛= ⎝，3,02EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面PEC 的一个法向量为(),,n x y z =，

由0n

PE ⋅=，0

n EC ⋅=，

得1022302

2x y x y +

=⎪⎪⎨⎪-

+=⎪⎩，令1y =

，则x z ==所以(3,1,n =， 取平面PCD 的一个法向量为()1,0,0m =，

设二面角E PC D --的大小为θ，由图可知θ为锐角. ∴2cos 2m n

m n θ⋅==⋅，∴4

πθ=，