《复变函数》第三章习题全解钟玉泉版(10)

于是得

n!

(1 )

n

的最小值为

(n 1)!(nn 1

)

n

,当n 时(

nn 1

)

n

1e

所以有 f

(n)

(0)

的估值为f

(n)

(n)

(0) (n 1)!e. n!M(R)R

n

13.证明:由柯西不等式f f (0)

12 i12

(a)

,其中M(R) f(z),n 1,2, 可知

z a R

f(z)

z 1

z

2

dz

12

f(z)

z 1

z

2

dz

1

z 1

1

2

dz 1

14.证明:应用反证法

假设满足z R且f(z) M的z不存在,则必存在某正数R,M,使得对于任意的z,z R时, f(z) M,又由f(z)的连续性.则当z R时, f(z)必有最大值,设其为M1,令M0 max M,M1 ,则在z 时有f(z) M0,于是得到f(z)在全平面上是有界的,则由刘维尔定理, f(z)必为常数,与题矛盾,假设错误.

15.解:由 v (x y)(x2 4xy y2) 2(x y),得

x vx (x 4xy y) (x y)(2x 4y) 2

2

2

=3x2 3y2 6xy 2

两式相加并结合C R条件得：

x 3x 3y 2

2

2

从而 x3 3y2x 2x,v y3 3x2y 2y 故 f x3 3y2x 2x i(3x2y y3 2y)

16.解:在D内,由条件(1),(2)已知满足柯西积分公式的条件,故得在D内 f1(z) f2(z)

在C上,由条件(3)知f1(z) f2(z) 故综合得在D D C上有f1(z) f2(z).