《复变函数》第三章习题全解钟玉泉版(7)

(x,y) 故势线和流线为双曲线.

20.解:根据流量和环量的定义来计算 f(z)

1z 1

2

k2

(x y)

22

x y 1(x y 1) 4xy

x y 1

2

2

22

22222

2xy

(x y 1) 4xy

2xy

(x y 1) 4xy

2xy

2

2

2

2

2

22222

i

环量 C

1

C1

(x y 1) 4xyx y 1

2

2

22222

dx

dy 0

流量为

C1

(x y 1) 4xy

22222

dy

(x y 1) 4xy

22222

0

同理,在C2,C3处也为0.

（二） 1.答:f(z)不必需要在z 0解析,如f(z)

1z

在z 0处不解析.

2.解:若沿负实轴( ,0]隔开z平面,z就能分成两个单值解析分支,即 (z)k

ze

i

argz 2k

2

( argz ,k 0,1)

(1)在C1:z ei ,0 上, z取主值支.这时(1)式中argz代换为 ,k 0,

则z e2,故

i

C1

dzz

2 2i.

(2)在C2:z e i ,0 上,

,k 0,则

z取主值支.这时(1)式中argz代换为

dzz

C2

2 2i.

3.证明:利用积分估值定理及三角不等式

z 1z 1

2z 1

1

2z 1

2

且由积分估值定理有

z 1z 1

C

dz 8

4.证明:因为f(z) esz在单连通区域z平面上解析,则