《复变函数》第三章习题全解钟玉泉版(2)

(3)

e

2

z

z 5z 6

e

z

(z 2)(z 3)

,因奇点z 2, 3在单位圆z 1的外部, 所以

edzz 5z 6

2

z

e

2

z

z 5z 6

在z 1上处处解析,由柯西积分定理得

C

0.

(4)因为zcosz2在z 1上处处解析, 由柯西积分定理得 zcosz2dz 0.

C

5.解:(1)因f(z) (z 2)在z平面上解析,且

2

(z 2)

3

3

为其一原函数,所以

2 i

2

(z 2)dz

2

(z 2)

3

3

2 i 2

i3

(2)设z ( 2i)t,可得

i

cos

z2

dz

1

cos(

2i

2

t)( 2i)dt

2i

2

1

(ee

t

i

2

t

ee

t

i

2

t

)dt

e e 1 6.解:

2 a

23 2 a22

(2z 8z 1)dz= z 4z z |

3 0

=8 3a3 16 2a2 2 a

3

2

7.证明:由于f(z),g(z)在单连通区域D内解析,所以f(z)g(z),[f(z)g(z)] 在D内解析,且[f(z)g(z)] f (z)g(z) f(z)g (z)仍解析,所以f(z)g(z)是

f (z)g(z) f(z)g (z)的一个原函数.

从而 [f (z)g(z) f(z)g (z)]dz [f(z)g(z)]

因此得 f(z)g (z)dz [f(z)g(z)]

f (z)g(z)dz

.

8.证明： |z| 1,

dzz 2

|z| 1

0

设z ei ,dz iei d