《复变函数》第三章习题全解钟玉泉版(9)

故 limf(rei )d 2 f(0)

r 0

2

f(re

i

)d f(0)d

2

d 2

(2)取(1)中的a 0,再利用圆周的参数方程化简(1)中等式左端即证. 10.证明:

12 i12 i

|z| 1

[2 (z 2f(z)z

1z

)]f(z)

dzzz

2

]dz

=

|z| 1

f(z)

f(z)

=2f(0) f (0) 2 f (0)

11.证明:由题设,f (z)在D内含C之单连通区域内解析, f(b) f(a)

b

a

f (z)dz

b

a

f (z)dz

考虑到f (z)在有界闭集C上的连续性,必存在点 C,使得f ( )是f (z) 在C上的最大值. f (z)dz

ab

b

a

f ( )b a

由上得 f(b) f(a) f ( )b a

如果 C,都有f ( ) 0,则沿C,f (z) 0,于是沿C,f(z)为常数,故

f(b) f(a),题中等式成立.

如果存在 C使f ( ) 0,且是f (z)在C上的最大值,则可令

f(b) f(a)f ( )(b a)

,则题中等式成立.

12.证明:取圆周z 1

由于f(z)在z 1内解析,故知f(z)在z 上解析,且有 f(z)

11 z

11

由柯西不等式,知 f

(n)

(0)

n!M( )

n

n

n!

(1 )

n

n1 n

)(1

n

对于 在(0,1)上,当

n 1

时, n(1 )取最大值(

n1 n

)