《复变函数》第三章习题全解钟玉泉版(6)

u

(x

2xy

2

y)

22

dy

xx y

2

2

(x)

又因vy ux,故( 所以 (x) C,故

f(z)

xx y

2

xx y

2

2

) x (x) (

yx y

2

2

) y,即 (x) 0.

2

C i

1

yx y

2

2

又因为f(2) 0,所以C

f(z)

xx y

2

2

2

,故

y

12

i

x y

22

2

17.证明：设f(z) u iv 4f (z) 4(ux2 vy2)

f(z)

2

=u2 v2，

2

f(z) x

2

2uuy 2vvx

2

f(z) x

2

2ux 2uux 2vx 2vvx

2222

同理可得：

2

f(z) y

2

2

2u

2y

2uu

2y 2vy 2vvy

2

2

于是结合C R条件及u,v为调和函数可得：

(

22

x

2

y

)f(z)2

2

4(ux vx) 2u(ux uy) 2v(vx vy)

2

222222

=4（ux2 vx2）=4f (z)

18.证明: f(z)在D内解析,则f (z)在D内也解析.已知f (z) 0,则lnf (z)在

D

内解析,于是其实部lnf (z)为D内的调和函数.

19.解: f(z)

z

z0

v(z)dz

ki2

z

2

势函数和流函数分别为 (x,y) kxy