《复变函数》第三章习题全解钟玉泉版(4)

ecos cos(sin )d

12.解:令 ( ) 3 2 7 1,则 f(z)

( ) z

C

d 2 i (z) 2 i (3z 7z 1)

2

则 f (z) 2 i(6z 7)

因此 f (1 i) 2 i(6 6i 7) 2 ( 6 16i)

13.证明:利用结论:f(z)在D内单叶解析,则有f (z) 0

由题知,C:z z(t)(a t b)为D内光滑曲线,由光滑曲线的定义有 1)C为若尔当曲线,即t1 t2时,z(t1) z(t2); 2)z (t) 0,且连续于[a,b]

要证 为光滑曲线,只须验证以上两条即可.

而在w f(z)的变换下, C的象曲线下的参数方程为 :w w(t) f[z(t)](a t b)

1) 因t1 t2时,z(t1) z(t2),又因f(z)在D内单叶解析,所以当t1 t2

时,f(z1) f(z2).因此当t1 t2时,有w(t1) w(t2).

2) 因为z (t) 0且连续于[a,b],又因f (z) 0,则由解析函数的无穷可微性

知f (z)在D内也存在,所以f (z)在D内也连续,则由复合函数求导法则 w (t) f (z)z (t) 0,且连续于[a,b].

14.证明:由上题知C和 均为光滑曲线,因 (w)沿 连续以及f(z),f (z)在包含C的区域D内解析,因此 [f(z)]f (z)也连续,故公式中的两端积分存在.则 [f(z)]f (z)dz

C

b

ab

[f(z(t))]f (z(t))z (t)dt [w(t)]w (t)dt

a

(w)dw

1f(z)

15.证明:应用刘维尔定理,因f(z)恒大于一正的常数,则必恒小于一正的