《复变函数》第三章习题全解钟玉泉版(3)

0

2 0

id

i

e

i

2

2 0

(icos sin )[(cos 2) isin ]

(cos 2) sin d

0

22

=

2 02 0

2sin i(1 2cos )

5 4cos 1 2cos 5 4cos

0

于是 0,故

1 2cos 5 4cos

.

9.解:(1)因为f(z) 2z2 z 1在z 2上是解析的,且z 1 z 2,根据柯西公式得

2z z 1

z 2

2

z 1

2 i(2z z 1)

2

z 1

4 i

(2)可令f(z) 2z2 z 1,则由导数的积分表达式得

2z z 1

z 2

2

(z 1)

2

2 if (z)

z 1

6 i

sin

2

10.解:(1)若C不含z= 1，则

c

4z 1

zdz

0

sin

(2)若C含z=1但不含有z=-1,

则

c

42

z 1

zdz

2 i 2

2

i

sin

4

2

zdz

(3)若C含有z=-1,但不含 z=1,

则： (4)若C含有z 1,则

sin

2

c

z

1

i

c

zdz4 2

z 1

1

c

2

sin

2

4

z(

1z 1

1z 1

)dz

2 i2

2

2

2

i

)id

11.证明:

e

z

C

z

e

cos isin

cos isin

(cos isin )

(e

cos

e

isin

2

e

cos

sin(sin ) ie

z

cos

cos(sin )d

再利用柯西积分公式

2

e

C

z

dz

e

C

0

2 i

则 ecos cos(sin )d 2 ,由于ecos cos(sin )关于 对称,因此