《复变函数》第三章习题全解钟玉泉版(8)

e

bs

e

as

b

a

se

s

d

s

由积分估值定理有

b

se

a

d Mb a

其中M可由ses s es s e( it) s e t eit s emax(a,b) 得出. 5. 解:设z ei ,c1为0到1的直线段,c2为1到z的圆弧，则由柯西积分定理

dz1 z

2

C

c1 z

1

dz

2

c

dz

21 z

2

=

10

dx1 x

2

ie

i 2i

1 e

=RE

dz

C

4

1 z

2

6.解:f(z) ezsinz在圆周z a内解析,故其积分值与路径无关,只与起点终点有关,而积分路径为封闭的圆周,故 ezsinzdz 0

C

因此,原式= zdz ezsinzdz adz 2 a2

C

C

C

7.证明：因为f(z)在|z| 1上连续，所以f(z)在|z| 1一致连续，因此 0，

0，使当1 r 1时均有|f(e) f(re)|

i

i

2

,(0 2 )

于是：|

|z| 1

f(z)dz| |

|

|z| 1

f(z)dz

i

i

1

r

|z| r

f(z)dz|

2 0

2 0

f(e)ied

i

1

r

f(re)ried |

i i

2

|f(e) f(re)|d

i

所以

|z| 1

f(z)dz 0.

8.证明:首先由题设积分 f(z)dz存在,应用积分估值定理.

Kr

Kr

f(z)dz M(r) 2 r

而由题设(3)limM(r) r 0,故得证.

r

9.证明:(1)参见教材(3.16)式的证明.

因为f(z)在点z 0的邻域内连续,则对 0， 0, z z 0的邻域,有 f(z) f(0) 所以

2

f(re

i

)d 2 f(0)

2

(f(re

i

)d f(0))d