2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(10)

10. 解法一：设线段AB的中点为M(x0,y0)，则 x0

x1 x2y y2

2,y0 1， 22

kAB

y2 y1y y163

. 22

x2 x1y2 y1y0y2y12

66

线段AB的垂直平分线的方程是

y y0

y0

(x 2). （1） 3

易知x 5,y 0是（1）的一个解，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点

C坐标为(5,0).

由（1）知直线AB的方程为y y0

3

(x 2)，即 y0

x

2

y0

(y y0) 2. （2） 3

（2）代入y 6x得y2 2y0(y y0) 12，即

2

y2 2y0y 2y0 12 0. （3）

依题意，y1,y2是方程（3）的两个实根，且y1 y2，所以

222 4y0 4(2y0 12) 4y0 48 0,

2 y0 3.

AB

(x1 x2)2 (y1 y2)2

(1 (

y02

))(y1 y2)2 3

2y0

(1 )[(y1 y2)2 4y1y2]

92y022

(1 )(4y0 4(2y0 12))

9

222

(9 y0)(12 y0) .

3