2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(18)

5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：

1

5! 3600种方案； （1）有一个项目有3人参加，共有C73 5! C5

1

（2）有两个项目各有2人参加，共有(C72 C52) 5! C52 5! 11400种方案；

2

所以满足题设要求的方案数为3600 11400 15000．

6

提示：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设P,M分别为AB,CD的

中点，则N在DP上，且ON DP，OM CD．

因为 CDA CDB ADB 60 ，设CD与平面ABD所成角为 ，可求得

cos

13,sin

23

．

1223

CD 1,DN DP 3 ． 2332

13

在△DMN中，DM 由余弦定理得

D

A B

MN2 12 ()2 2 1 3 2，

故MN ．四边形DMON的外接圆的直径

OD

MN

sin

223

3．

故球O的半径R ．

7．(1, 2)或(9, 6)．提示： 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(t2,2t)，由 则y1 y2 8，y1 y2 4．

又x1 2y1 1,x2 2y2 1，所以

x1 x2 2(y1 y2) 2 18， x1 x2 4y1 y2 2(y1 y2) 1 1．

x 2y 1 0,

得 y2 8y 4 0，2

y 4x,

因为 ACB 90 ，所以CA CB 0，即有

(t2 x1)(t2 x2) (2t y1)(2t y2) 0，

即

t4 (x1 x2)t2 x1 x2 4t2 2(y1 y2)t y1 y2 0，

即

t4 14t2 16t 3 0，

即