2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(13)

22222

QK QO r KO r，

所以 PO2 PK2 QO2 QK2， 故OK⊥PQ． 由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是

AQAP

． ①

QNPM

由梅内劳斯（Menelaus）定理，得

NBDEAQ

1， ② BDEAQN

MCDEAP

1． ③ CDEAPM

NBMCNDMD

由①，②，③可得， 所以，故△DMN ∽ △DCB，于是 DMN DCB，BDCDBDDC

所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而A,B,D,C四点共圆.

注1：“PK P的幂（关于⊙O） K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得

2

PK KF AK KE， ④

则P，E，F，A四点共圆，故

PFE PAE BCE，

从而E，C，F，K四点共圆，于是

PK PF PE PC， ⑤

⑤-④，得

PK PE PC AK KE P的幂（关于⊙O） K的幂（关于⊙O）． 注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．

A

2

O

F

B

D

P

C

Q

N

M

2. 记v2(n)表示正整数n所含的2的幂次．则当m v2(k) 1时，f

(m)

(r)为整数．