2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(9)

1 3 1003 6k 2009 1004，

所以

6k 2009 1004 3 1003 1

2006 1005 2009 3 2 1 2006 1005 2004， 即

k 1003 335 334 335671.

从而满足x y z的正整数解的个数为

1 1003 335671 336675.

f (0) c, 13 2

9. 解法一： f (x) 3ax 2bx c,由 f () a b c, 得

4 2

f (1) 3a 2b c

1

3a 2f (0) 2f (1) 4f ().

2

所以

1

3a 2f (0) 2f (1) 4f ()

2

2f (0) 2f (1) 4f () 8，

12

所以a 为

8832

. 又易知当f(x) x 4x x m（m为常数）满足题设条件，所以a最大值33

8

. 3

2

解法二：f (x) 3ax 2bx c. 设g(x) f (x) 1，则当0 x 1时，0 g(x) 2.

设 z 2x 1，则x

z 1

, 1 z 1. 2

z 13a23a 2b3a

h(z) g() z z b c 1.

2424

容易知道当 1 z 1时，0 h(z) 2,0 h( z) 2. 从而当 1 z 1时，

0

h(z) h( z)

2 ， 即

2

3a23az b c 1 2， 44

3a3a8

b c 1 0,z2 2，由 0 z2 1知a . 从而

344

8832

又易知当f(x) x 4x x m（m为常数）满足题设条件，所以a最大值为.

33

0