2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(12)

所以， ABC面积的最大值是

14

7. 3

11.令f(x) 2x3 5x 2，则f (x) 6x2 5 0，所以f(x)是严格递增的.又

113

f(0) 2 0,f() 0，故f(x)有唯一实数根r (0,).

224

所以 2r 5r 2 0，

3

2r4710

r r r r . 351 r

故数列an 3n 2(n 1,2, )是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列a1 a2 an 和b1 b2 bn 满足

ra1 ra2 ra3 rb1 rb2 rb3

去掉上面等式两边相同的项，有

2， 5

rs1 rs2 rs3 rt1 rt2 rt3 ，

这里s1 s2 s3 ,t1 t2 t3 ，所有的si与tj都是不同的.

不妨设s1 t1，则

rs1 rs1 rs2 rt1 rt2 ，

1 rt1 s1 rt2 s1 r r2

1

1 1 r

111 2

1 1，

矛盾.故满足题设的数列是唯一的.

解 答

1. 用反证法．若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ．

2

因为PK P的幂（关于⊙O） K的幂（关于⊙O）

PO r同理

22

KO r

2

2

，

M