2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(6)

解 答

1. [ 3,3] 提示：易知f(x)的定义域是 5,8 ，且f(x)在 5,8 上是增函数，从而可知

f(x)的值域为[ 3,].

2.

3

a 12 提示：令sinx t，则原函数化为g(t) ( at2 a 3)t，即 2

g(t) at3 (a 3)t.

由 at3 (a 3)t 3，(t 1)( at(t 1) 3) 0 及t 1 0 知 at(t2 1) 3(t 1) 0，

at(t 1) 3 0 即

a(t2 t) 3. （1）

当t 0, 1时（1）总成立；

2

对0 t 1,0 t t 2；对 1 t 0,

31

t2 t 0.从而可知 a 12.

24

3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设y k(k 1,2, ,99)与双曲线右半支于Ak,交直线x 100于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99 k，从而在x轴上方区域内部整点的个数为

(99 k) 99 49 4851.

k 1

99

又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为2 4851 98 9800.

3 提示 ：设{an}的公差为d,{bn}的公比为q，则

3 d q, （1）

3(3 4d) q2， （2）

（1）代入（2）得9 12d d 6d 9，求得d 6,q 9. 从而有3 6(n 1) log 9一切正整数n都成立.

从而

n 1

2

即6n 3 (n 1)log 9 对 对一切正整数n都成立，

log 9 6, 3 log 9 ，