2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(17)

2011年全国高中数学联赛

一 试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1．设集合A {a1,a2,a3,a4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B { 1,3,5,8}，则集合A ．

2．函数f(x)

x2 1

的值域为． x 1

3．设a,b为正实数，

11

22，(a b)2 4(ab)3，则logab ab

4．如果cos5 sin5 7(sin3 cos3 )， [0,2 )，那么 的取值范围是 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）

6．在四面体ABCD中，已知 ADB BDC CDA 60 ，则四面体ABCDAD BD 3，CD 2，的外接球的半径为 ．

7．直线x 2y 1 0与抛物线y2 4x交于A,B两点，C为抛物线上的一点， ACB 90 ，则点C的坐标为．

8．已知an Cn 36200

200 n

1

(n 1,2, ,95)，则数列{an}中整数项的个数为 2

n

二、解答题（本大题共3小题，共56分）

9．（16分）设函数f(x) |lg(x 1)|，实数a,b(a b)满足f(a) f( 求a,b的值． 10．（20分）已知数列{an}满足：a1 2t 3(t R且t 1)，

an 1

(2tn 1 3)an 2(t 1)tn 1

(n N*)． n

an 2t 1

b 1

)，f(10a 6b 21) 4lg2，b 2

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若t 0，试比较an 1与an的大小．

1x2y2

11．（本小题满分20分）作斜率为的直线l与椭圆C： 1交于A,B两点（如图所示），

3364

且P(32,2)在直线l的左上方．

（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；

（2）若 APB 60 ，求△PAB的面积．

解 答

1．{ 3,0,2,6}. 提示：显然，在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以

3(a1 a2 a3 a4) ( 1) 3 5 8 15，

故a1 a2 a3 a4 5，于是集合A的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合A { 3,0,2,6}．

2

．( , (1, ). 提示：设x tan ,

2 2，且 4，则

1

f(x) cos 1

1tan 1 sin cos

． 2sin(

4

)

设u 2sin(

4

)，则 2 u 1，且u 0，所以 f(x) 12u ( ,

2] (1, )．

3．-1. 提示：由

1a 1

b

22，得a b 2ab．又 (a b)2 4ab (a b)2 4ab 4(ab)3 4 2ab (ab)3 8(ab)2，

即

a b 22ab． ①

于是

a b 2ab． ②

再由不等式①中等号成立的条件，得ab 1．与②联立解得 a 2 1, a 2 1,

b 2 1,或 2 1,

b故logab 1．

4．

5

4,4

. 提示：不等式 cos5 sin5 7(sin3 cos3 )

等价于

sin3 1sin5 cos3 1

cos577

.

又f(x) x3

17

x5

是( , )上的增函数，所以sin cos ，故 2k

4

2k

5

4

(k Z)． 因为 [0,2 )，所以 的取值范围是

4,5 4

．