2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(16)

C2

kn

k 0

n

n k

kn k

Cn2( 1)k (2 1)n (2 1)n k 0

n

3n 1．

当n为偶数时，若i

nn

，则②式仍然成立；若i ，则正n边形的所有边都标记a，此时22

只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为

4

i 0

n

2

n n 2i

2 2 1

2i 2j 2in 2i 1 CC 4 1 C n2 n n 2i

j 0i 0

2in 2i 1

2 4 Cn2 3n 3．

i 0

n

n

2

综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有3 1种；当n为偶数时有3 3种．

n