2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(19)

(t2 4t 3)(t2 4t 1) 0．

显然t2 4t 1 0，否则t2 2 2t 1 0，则点C在直线x 2y 1 0上，从而点C与点A或点B重合．所以t2 4t 3 0，解得t1 1,t2 3．

故所求点C的坐标为(1, 2)或(9, 6)．

8．15. 提示：an C

n200

200 n3

400 5n6

3 2．

要使an(1 n 95) 为整数，必有

200 n400 5n

均为整数，从而6|n 4． ,

36

200 n400 5n

和均为非负整数，所以an为36

当n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，整数，共有14个．

338 2 5，在C86当n 86时，a86 C86 200200

200!

中，200!中因数2的个数为

86! 114!

200 200 200 200 200 200 200

2 22 23 24 25 26 27 197，

同理可计算得86!中因数2的个数为82，114!中因数2的个数为110，所以C86200中因数2的个数为197 82 110 5，故a86是整数．

336 2 10，当n 92时，a92 C92在C92 200200

200!

中，同样可求得92!中因数2的个数为88,108!中

92! 108!

a因数2的个数为105,故C86200中因数2的个数为197 88 105 4，故92不是整数．

因此，整数项的个数为14 1 15．

9．因为f(a) f(

b 1

)，所以 b 2

|lg(a 1)| |lg(

b 11

1)| |)| |lg(b 2)|， b 2b 2

所以a 1 b 2或(a 1)(b 2) 1，又因为a b，所以a 1 b 2，所以(a 1)(b 2) 1．

又由f(a) |lg(a 1)|有意义知0 a 1，从而

0 a 1 b 1 b 2，

于是

0 a 1 1 b 2．

所以

(10a 6b 21) 1 10(a 1) 6(b 2) 6(b 2)

10

1． b 2

从而

f(10a 6b 21) |lg[6(b 2)

1010

]| lg[6(b 2) ]． b 2b 2

又