《固体物理学答案》第四章 晶体的缺陷(10)

(F1 F2) F 0, n n T T

并应用斯特林公式1nN! N1nN,得

n F u kT1n 3m 1B N n 2 n T

/kBT

1 e

3mkT1n 0. B /kBT 1 e

能量u1比电子能量 或 大得多,将 上式中

3m 2

忽略掉,则有

/kBT N u1/kBT 1 e e

/kBTN n 1 e

由N n,得

3m

.

/kBT u1/kBT 1 en Ne

/kBT 1 e

3m

.

引进爱因斯坦温度 E在高温时,即T 1 e

kB

,

E时,有

,1 e /kBT kBTkBT

/kBT

.

u/kT

于是 n N e1B.

由于

3m

,因此上式表明高温下空位更容易形成

在低温情况下,即T

u/kT

E时有

1 e /kBT1 e

/kBT

1,

于是n Ne1B.

此式表明,低温下不仅缺陷数目少,而且空位附近的原子与正常格点上的原子的频率偏差对空位浓度的影响可以忽略.

14.若计及缺陷对最近邻m个原子的影响,采用爱因斯坦模型,求出高温时晶体中的弗仑克尔缺陷数目,设空位最近邻的原子的频率变为 1,填隙原子近邻的原子的频率变为 2. [解答]

设晶体中的原子数和间隙位置数分别为热振动的自由能为F2

N

与N当没有缺陷时,若采用爱因斯坦模型,则高温时晶格

'

3NkBT1n(1 e /kBT)

.

如果晶体中存在n个弗仑克尔缺陷,则它们存在的可能排列方式数为

N!N'!

W

(N n)!(N' n)!(n!)2 F nu kBT1nW

设形成一个弗仑克尔缺陷需要的能量为u,由此得原子振动频率不变时晶体自由能的改变为