《固体物理学答案》第四章 晶体的缺陷(7)

(1) 当(u (n )s(2) 当(u (n(3)

v

v

v

v u ) kBT时,只有肖特基缺陷

v

vvv (n )s N N e

vv

(u u )/kBT

1

2

i u ) kBT时,只有弗仑克尔缺陷

)f (n)f NNe

i

v

1

vi u )/kBT2i (u

n (n) (n)

v2(n )n vs

n v

v

v2 s

1v22

; f

;

i

n

i2

(n )fvn v

i

;

[解答]

设N ,N 和N 分别表示正负离子总数和间隙正离子总数,n ,n ,n 分别表示正负离子空位数和正填隙离子数，

u ,u 和u 分别为正负离子空位和正填隙离子的形成能，则晶格系数的自由能

vvvvii

F F0 n u n u n u

vvi

N !N !N !

.(1) kBT1n v

vvvvviii

(N n )!n !(N n )!n !(N n )!n !

v

v

i

v

v

v

i

其中F0是只与体积有关的自由能，由电中性条件

vi

qn qn 0 (2) vvi

得 n n n , (3)

vvi

其中q是正负离子空位和正填隙离子的等效电荷，这里假定它们的等效电荷都相等. u ,u ,u 既是（1）

qn

v

式的变量，又是（2）式的变量.因此,在求自由能的极小值时应考虑电中性的约束条件,为此,在(2)式左端乘以参量 ，并代入（1）式得 F

vvvvii

F0 n (u q) n (u q) n (u q)

vvi

N !N !N !

. (4) kBT1n v

vvvvviii

(N n )!n !(N n )!n !(N n )!n !

利用自由能的极小值条件

F F F

0, 0, 0, vvi

n n n

v (u q)/kBT

, (5) N e

i

q)/kBTi (u

可得热缺陷数目为 n

i

v

v

n Ne

, (6)

vv (u q)/kBT

. (7) n N e

v

再将以上三式代入（3）式,得 e

q/kBT

v

1N

v

Ne

v

vv(u u )/kBT

Ne

i

1

vi(u u )/kBT2

.

将上式再代入n 的表示式，得