《固体物理学答案》第四章 晶体的缺陷(11)

若空位最近邻的原子的频率变为 1,填隙原子最近邻的原子的频率变为 2,则在高温时,原子振动引起自由能的改变为

F' 3(N 2nm)kBT1n(1 e /kBT) 3nmkBT1n(1 e) 3nmkBT1n(1 e

1 (1 e 2/kBT)

=3nmkBT1n /kBT2

(1 e)

晶体总的自由能成为

1/kBT

2/kBT

) 3NkBT1n(1 e

/kBT

)

N!N'!

F F0 nu kBT1n 3NkBT1n(1 e /kBT) '2

(N n)!(N n)!(n!)

(1 e 2/kBT)(1 e 2/kBT)

. 3nmkBT1n

(1 e /kBT)2

在高温时,( /kBT) 1,( 1/kBT) 1,( 2/kBT) 1,由此得

/kBT

1 e，

kBT

1

， 1 e 1/kBT kBT 2

。 1 e 2/kBT kBT

再利用斯特林公式1nN! N1nN，得到 F F0 nu

kBTN1nN N'1nN' (N n)1n(N n) (N' n)1n(N' n) 2n1nn

3NkBT1n 3nmkBT1n12.

kBT 2 F

代入平衡条件 0,

n T

1 2n2

得u kBT1n 3mkT1n 0. B '

(N n)(N n) 2

2n2

由上式得'

(N n)(N n) 1 2

u/kBT

. e

3m/23m

2

' '

由于N,N n,因此n NN

12

e u/kBT.