《固体物理学答案》第四章 晶体的缺陷(9)

可得kBT

1n(1 e

i 1

6N

i/kBT

) 6NkBT1n(1 e

.

/kBT

)

6NkBT1n

kBT

根椐题意,可设空位使最近邻的m个离子的振动频率从 变为 , 在整个晶体中共有2nm个离子振动频率为 ,其他2N-2nm个离子的振动频率仍为 ,频率的不同引起的自由能的变化为

'

'

'

F2 [6nmkBT1n 3(2N 2nm)kBT1n] 6NkBT1n

kBTkBTkBT

'

6nmkBT1n

.

由以上诸式得晶体的总的自由能

F F1 F2 F2

N! '

F0 nE 2kBT1n 6NkBT1n 6nmkBT1n

(N n)!n!kBT

F

根据平衡条件 0,

n T

并应用斯特林公式1nN! N1nN,得

n 2 ' 6m F

E kBT1n 0

nN n T

.

n

即 ' e E/kBT.

N n 由于实际上N n,于是

3m

E/kBT

n N . e'

13.对单原子晶体,在通常温度下,肖特基缺陷数目与最近邻原子的振动频率的改变有关,试用爱因斯坦模型,证明平衡时肖特基缺陷数目

/kBT u1/kBT 1 e , n Ne

1 e /kBT

并讨论T E和T E的极限情况,其中u1是肖特基,缺陷形成能,m是空位的最近邻原子数,

3m

3m

和 为最近邻无空位和有空位时原子的振动频率

[解答]

设含有N个原子的简单晶体中,存在n个空位,当原子振动频率不变时,晶体的自由能为

F1 F0 nu1 T S F0 nu1 kBT1n

N!

(N n)!n!

按照爱因斯坦模型,有空位缺陷时晶体的振动对自由能的贡献为

/kBT /kTB

F2 3(N nm)kBT 1n(1 e) 3nmkBT 1n(1 e) .

2kBT 2kBT

根据平衡条件