线性代数习题册(答案)(14)

练习 五

班级 学号 姓名 1．试判定集合V (x1,x2, ,xn)x1 x2 xn 1,xi R是否构成向量空间？

2．求向量空间R4的基 1 1,2, 1,0 , 2 1, 1,1,1 , 3 1,2,1,1 , 4 1, 1,0,1

,2 0,1,2,到基 1 2,1,0,1 2 ,3

坐标变换公式。

2,1,1, 4, 2

1,3,1,2 的过渡矩阵和向量的

自测题

一、选择题：

1．设向量组（1）： 1, ： 1, 2等价，则（ A ）。 2,3 与向量组（2）（A）向量组（1）线性相关； （B）向量组（2）线性无关； （C）向量组（1）线性无关； （D）向量组（2）线性相关。 2．设n维向量组 1, 2, , m线性无关，则（ B ）。

（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关； （B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关； （C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关； （D）向量组中每个向量都任意增加一个分量后仍线性无关。 3．设三阶行列式D aij 0，则（ A ）。

（A）D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合； （B）D中每一行向量都是其余行向量的线性组合；

（C）D中至少有两行向量线性相关； （D）D中每一行向量都线性相关。 4．设A: 1, 2, , 4是一组n维向量，且 1, 2, 3线性相关，则（ D ）。 （A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩小于等于3。 5．设 不能由非零向量 1, 2, , s线性表示，则（ D ）。

（A） 1, 2, , s线性相关； （B） 1, 2, , s, 线性相关；

（C） 与某个 i线性相关； （D） 与任一 i都线性无关。 二、填空题：

1．设n维向量 1, 2, 3线性相关，则向量组 1 2, 2 3, 3 1的秩。 2． 向量组 , , 线性相关的充分必要条件为。

3．设 1, 2线性无关，而 1, 2, 3线性相关，则向量组 1,2 2,3 3的极大无关组为 1, 2。

4．已知 1 1,3,2,4 , 2 2,6,k,8 线性相关，则

5． 已知向量组 , , 线性相关，而向量组 , , 线性无关，则向量组 , , 的秩为。

1 1 2 3

三、已知 2 1 2 2 3，证明 1, 2, 3与 1, 2, 3等价。

2 3

123 3

a 2 1 1

四、设有向量组A: 1 2 , 2 1 , 2 1 ，又向量 b ，试问当a,b,c满

10 5 4 c

足什么条件时，则：

（1） 可由 1, 2, 3线性表示，且表示式唯一； （2） 不能由 1, 2, 3线性表示；

（3） 可由 1, 2, 3线性表示，但不唯一，并求一般表达式。