贝叶斯统计(15)

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二、贝叶斯估计的误差

设 是θ的一个贝叶斯估计，在样本给定后， 是一个数，在综合各

种信息后，θ是按 ( x ) 取值，所以评价一个贝叶斯估计的误差的最好而

又简单的方式是用θ对 的后验均方差或平方根来度量，定义如下：

定义2.2 设参数θ的后验分布为 ( x ) ,贝叶斯估计为 ,则 的后验期望

x) E x( )2称为 的后验均方差,而其平方根称为后验标准误. MSE(

x E E ( x ) 时,则 MSE ( Ex ) E ( E ) 2 Var ( x ) ,称为后验均方差.

:

x) E x( )2 MSE(

x ) ( )]2 E[( EE )2 Var( x) ( E

时,可使后验均方差达到最小,实际中常取后验均值作为这表明,当 Eθ的贝叶斯估计值.

例2 设一批产品的不合格率为θ,检查是一个一个进行,直到发现第一个不

合格品为止,若X为发现第一个不合格品时已检查的产品数,则X服从几何分布,

x 1其分布列为

P(X x) (1 ),x 1,2,

X=3的无条件概率为(利用全概率公式)

11322223125P(X 3) [() () ()] 344444448

P(X 3, i4)4ii则， P( i4X 3) (1 )2,i 1,2,3

P(X 3)54

E( X 3) 40 4可看出, θ的最大后验估计 EMD Var( x) E( 2x) E2( x) 1780 (1740)2

三、区间估计

对于区间估计问题,贝叶斯方法具有处理方便和含义清晰的优点,而经典方法

求置信区间常受到批评.