贝叶斯统计(5)

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五、先验分布

是总体分布参数θ的一个概率分布。贝叶斯学派的根本观点，是认为在关

于θ的任何统计推断问题中,除了使用样本X所提供的信息外，还必须对

θ规定一个先验分布，它是在进行推断时不可或缺的一个要素。贝叶斯学

派把先验分布解释为在抽样前就有的关于θ的先验信息的概率表述，先验

分布不必有客观的依据，它可以部分地或完全地基于主观信念。 六、后验分布

根据样本 X 的分布Pθ及θ的先验分布π(θ)，用概率论中求条件概率

分布的方法,可算出在已知X=x的条件下,θ的条件分布 π(θ|x)。因为这

个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。贝叶斯学派认为:这个分

布综合了样本X及先验分布π(θ)所提供的有关的信息。抽样的全部目的，

就在于完成由先验分布到后验分布的转换。如上例,设p=P(θ=1)=0.001,

而π(θ=1|x)=0.86,则贝叶斯学派解释为：在某甲的指标量出之前,他患病

的可能性定为0.001，而在得到X后,认识发生了变化：其患病的可能性提

高为0.86，这一点的实现既与X有关，也离不开先验分布。计算后验分布

的公式本质上就是概率论中著名的贝叶斯公式(见概率)，这公式正是上面

提到的贝叶斯1763年的文章的一个重要内容。

关于贝叶斯方法的争论

贝叶斯学派与频率学派争论的焦点在于先验分布的问题。所谓频率学

派是指坚持概率的频率解释的统计学家形成的学派。贝叶斯学派认为先验

分布可以是主观的，它没有也不需要有频率解释。而频率学派则认为，只

有在先验分布有一种不依赖主观的意义，且能根据适当的理论或以往的经

验决定时，才允许在统计推断中使用先验分布，否则就会丧失客观性。另

一个批评是：贝叶斯方法对任何统计问题都给以一种程式化的解法，这导

致人们对问题不去作深入分析，而只是机械地套用公式。贝叶斯学派则认

为：从理论上说，可以在一定条件下证明，任何合理的优良性准则必然是

相应于一定先验分布的贝叶斯准则，因此每个统计学家自觉或不自觉地都

是“贝叶斯主义者”。他们认为，频率学派表面上不使用先验分布，但所

得到的解也还是某种先验分布下的贝叶斯解，而这一潜在的先验分布，可

能比经过慎重选定的主观先验分布更不合理。其次，贝叶斯学派还认为，

贝叶斯方法对统计推断和决策问题给出程式化的解是优点而非缺点，因为

它免除了寻求抽样分布，（见统计量）这个困难的数学问题。而且这种程

式化的解法并不是机械地套公式，它要求人们对先验分布、损失函数等的

选择作大量的工作。还有，贝叶斯学派认为，用贝叶斯方法求出的解不需

要频率解释，因而即使在一次使用下也有意义。反之，根据概率的频率解

释而提供的解,则只有在大量次数使用之下才有意义,而这常常不符合应用

的实际。这两个学派的争论是战后数理统计学发展中的一个特色。这个争

论目前还远没有解决，它对今后数理统计学的发展还将产生影响。

2、贝叶斯公式