贝叶斯统计(17)

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考察检验问题：H0：θ=θ0 H1：θ≠θ0

对简单原假设H0：θ=θ0作贝叶斯检验时不能采用连续密度函数作为先验

分布，因为任何这种先验分布将给θ=θ0的先验概率为零,从而后验概率也为零,

所以一个有效的方法是对θ=θ0给一个正概率π0，而对θ≠θ0给一个加权密

度π1g1(θ)即θ的先验密度为：

π(θ)=π0Iθ0(θ)+π1g1(θ)

其中Iθ0(θ)为θ=θ0的示性函数，π1=1-π0，g1(θ)为θ≠θ0上的一个

正常密度函数，这里可以把π0看作近似的实际假设H0：θ∈[θ0-ε，θ0+ε]

上的先验概率，这样的先验分布是由离散和连续两部分组成。

五、预测

一、预测的基本概念与基本问题

预测：对随机变量未来观察值作出统计推断称为预测

统计预测大致有以下几种形式：

(1)设随机变量X~ p(x/ )，在参数θ未知情况下如何对X的未来的观察值

作出推断。

(2)设x1,x2,...,xn是来自p(x/ )的过去观察值，在参数θ未知情况下，如何对

X的未来的观察值作出推断。

(3)按密度函数p(x/ )得到一些数据x1,x2,...,xn后，如何对具有密度函数g(z|

θ)的随机变量Z的未来的观察值作出推断，这里两个密度函数p和g都含有相

同的未知参数θ。

4、习题

习题：1、例3 设x1,x2, xn是来自正态总体N(θ

,

其中 已知,

若正态均值的先验分布取为) 的一个样本观察值,

已知,则可求得θ

可信区间

,

其中与

的后验分布

为,由此很容易获得θ

的

2、 设x是从二项分布b(n,θ)中抽取的一个样本，现在考虑如下两个假设： Θ0={θ:θ≤1/2}, Θ1={θ:θ>1/2}

若取均匀分布U(0,1)作为θ的先验分布，试做出判断。

解：因为Θ0的后验概率为：

1/2 (n 2) 0 P( 0|x) x(1 )n xd (x 1) (n x 1)0

(n 2)(1/2)n 1 n x(n x)(n x 1)(n x)!x! 1 (x 1) (n x 1)x 1 x 2(x 2)(x 3)(n 1)!

在n=5时可计算各种x下的后验概率及后验机会比（见表2.4）

θ的后验机会比