计算方法习题集及答案(6)

求证由上述迭代公式产生的向量序列x(k)收敛的充要条件是 证明：

a12a21

1.

a11a22

迭代公式x(k 1)

0

Bx(k) f中的矩阵B

a21 a 22

a12 a11

，det( E B) 2 a12a21，

a11a22

0

由迭代收敛的充要条件知

(B) 1

a12a21

1即证。

a11a22

1a0 x1 1

3. 给定方程组 a20 x2 0 ，确定a的取值范围，使方程组对应的Jacobi迭代收敛。

101 x3 1

(k 1)

x(k)4. 用SOR方法解下列方程组（取松驰因子 1.2）,要求x

10 4.

2x1 x2 1.

x1 4x2 5

解：SOR方法

(k 1)

x1 x1(k)

a11

(k)

(b1 a11x1(k) a12x2)

(k 1)(k)

x2 x2

a22

(k)

(b2 a21x1(k 1) a22x2)

a11 2,a12 1,a21 1,a22 4,b1 1,b2 5, 1.2

故x1

(k 1)

k)(k 1)(k)(k 1)

， 0.2x1(k) 0.6x( 0.6x 0.2x 0.3x 1.5 2221

(0)(0)

迭代初值x1 x2 0

x(16) x(15)

0.000052 10 4

x1 x1(16) 1.000017

(16)

x2 x2 0.999991

5. 给定线性方程组AX=b，其中A

1a 2

,x,b R， 4a1

1）求出使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛的 的取值范围。 2）当 0时，给出这两种迭代法的收敛速度之比。

6. 用Gauss消去法解方程组

2x1 x2 x3 4

3x1 x2 2x3 6 x 2x 2x 5

23 1

7. 用选列主元高斯消去法求解方程组

3x1 x2 4x3 7

x1 2x2 2x3 1 2x 3x 2x 0

23 1

解：

3 1

3 147

05 12 2 1 A D 3

2 3 20 7

0

3

3 1

7

0 3 5 0

3

解得

4

2 314 34

7 4 3 14 3

4 1432 3

7 3 1 14 7 0 3 34 00 3

143 4

7 14 3 2

2,1,0.5

8. 用追赶法解三角方程组

2 1000 x1 1 12 100 x 0 2 0 12 10 x3 0 00 12 1 x4 0 000 12 0 x5

解：高斯迶元