计算方法习题集及答案(5)

练习三

1. 设有方程组

5x1 2x2 x3 12

x1 4x2 2x3 20 2x 3x 10x 3

23 1

(1) 考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性； (2) 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当x

(k 1)

x(k)

10 4时迭代终止。

521

A是强对角占优阵。

4解：（1）A 14

2 310

故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。

212

（2）x1 x2 1x3 x2 4x1 2x3 53

x3 1x1 x3

3

10

123(k 1)(k)(k 1)(k)31(k)1(k)

x x x ，x2，， 1x x 53124123

510

雅克比法：

3(k)2(k)

x1(k 1) x2 x3

(0)(0)(0)

10 4（i=1,2,3） 取初始向量x1 x2 x3 0，迭代18次有xi18 x17i

x1 3.999996，x2 2.999974，x3 2.000000

高斯-塞德尔法：

3(k)2(k)

x1(k 1) x2 x3

123(k 1)(k)(k 1)(k)31(k)1(k)

x x x ，x2， 1x x 531213

510

(0)(0)(0)

取初始向量x1 x2 x3 0，迭代8次有xi8 xi7 10 4（i=1,2,3）

x1 4.000033，x2 2.999983，x3 2.000002

2. 设有方程组

a11x1 a12x2 b1

, (a11,a12 0) ,

a21x1 a22x2 b2

1 (k)(k 1)

x (b1 a12x2)1 a11

迭代公式： , k 1,2, .

1(k)(k 1)

x2 (b2 a21x2) a22