计算方法习题集及答案(4)

x* 1.466

迭代公式（2）：

x* 1.466

3. 已知x (x)在[a,b]内有一根x， (x)在[a,b]上一阶可微，且 x [a,b], (x) 1，试构造一个局部收敛于x的迭代公式。 解：

方程x (x)等价于x 0.5[ (x) 3x] 构造迭代公式xk 1 0.5[ (xk) 3xk] 令 (x) 0.5[ (x) 3x]

由于 (x)在[a,b]上也一阶可微 [ 0.5( (x) 3x) ] 0.5 (x) 3 0.5 1 故上述迭代公式是有局部收敛性.

**

4. 设 (x)在方程x (x)根x的邻近有连续的一阶导数，且 (x) 1，证明迭代公式xk 1 (xk)具

*

*

'

有局部收敛性。 证明：

(x)在x*邻近有连续一阶导数，则 '(x)在x*附近连续，

'*

令 (x) L 1则取 1 L

*''*

则 0当x x 时 有 (x) (x)

'''*'*

从而 (x) (x) (x) (x) L (1 L) 1

(x) x* (x) (x*) '( )(x x*) x x*

故 x < (x)<x

**

令 a x ，b x

**

由定理2.1知，迭代公式xk 1 (xk)是有局部收敛性。 5.

(x) x (x2 5)，要使迭代法xk 1 (xk)局部收敛到x* ，则 的取值范围是

______________。

3

2

6. 用牛顿法求方程f(x) x 2x 4x 7 0在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。

解：f(x) x3 2x2 4x 7

f'(x) 3x2 4x 4

32xk 2xk 4xk 7

y次迭代公式xk 1 xk

2

3xk 4xk 4

x* 3.63

7. 试证用牛顿法求方程(x 2)2(x 3) 0在[1,3]内的根x 2是线性收敛的。 解：

令f(x) (x 2)2(x 3)

f'(x) 3x2 2x 8 (x 2)(3x 4) y次迭代公式xk 1 xk

*

(xk 2)(xk 3)

3xk 4

故ek 1 x xk 1 2 xk

*

(xk 2)(xk 3)(xk 2)(2xk 1)

3xk 43xk 4

ek 12xk 1

，k 时，xk 2 ek3xk 4

ek x* xk xk 2 从而

故k ，

ek 11

ek2

故牛顿迭代公式是线性收敛的

8. 应用牛顿法于方程x a 0, 导出求立方根a的迭代公式，并讨论其收敛性。 解：f(x) x3 a f(x) 3x

33

xk a2xk a

相应的牛顿迭代公式为xk 1 x

k 22

3x3xk

3

2x3 2a2

xk a''' 4

迭代函数 (x) ， (x) ， (x) 2ax 32

3x3xk

3

'2

则 ' 0， '' 0