实数连续性循环证明及相互证明(10)

实数连续性循环证明及相互证明

同的方法。即使方法相同，还可以有不同的细节。而这些都是值得我们去注意与发现。以下谈谈在证明过程中的几点发现。

一.不同的定理对同一个定理证明方法的联系

1．单调有界定理与区间套定理对其它各定理的证明

从闭区间套的定义中，我们可以清楚地看出，闭区间套的左右端点分别形成两个数列，其中左端点的数列{an}单调增加，以每个bn为上界，而右端点所成的数列{bn}单调下降，以每个an为下界。正因为如此，我们用单调有界原理证明了区间套定理。[具体证明见（一）]

在用单调有界定理与区间套定理证明同一定理的过程中，可以看到，要用单调有界定理证明，就需要找出两个单调性相反、并将收敛于同一极限的数列。自然地，也就已经形成了闭区间套。

如在证明实数基本定理中，找到一单调上升数列{an} A，单调下降数列{bn} B， 在证明确界定理中，找到一单调上升数列{an}不是数集的上界， 一单调下降数列{bn}是数集的上界；

若要用单调有界定理证明有限覆盖定理，紧致性定理，也可以用二分法构造区间套的方法和反证法。找到一单调上升数列{an}，一单调下降数列{bn}，使得在每个[an，bn]区间上具备某种性质，从而推出矛盾。

从用单调有界定理证明实数基本定理和确界定理的过程，本质上是通过区间套去实现的，而与区间套定理相联系的，有构造闭区间套的方法，从而在应用中往往比单调有界定理强得多。 2．⑴区间套定理与紧致性定理对柯西收敛定理的证明

由于紧致性定理是由区间套定理推导证明出来的，如同单调有界定理由区间套定理证明一样，若要用区间套定理证明柯西收敛定理，先用二分法构造区间套，找出柯西列的一收敛子数列（其实是在重复区间套定理证明紧致性定理的过程），再证子数列的极限就是该柯西列的极限。

⑵同样地，由于紧致性定理可由确界定理推出，定义数集A后推出柯西列存在一收敛子列，再证柯西收敛定理的结论。

3．对于要证的定理，根据它受制约的条件和所具备的条件去考虑证明方法。

如要证确界定理，无论是用实数基本定理，单调有界定理，区间套定理，还是柯西收敛定理，都需要找出两组数列{an}， {bn}，{an}单调上升而不是数集的上界，{bn}单调下降是数集的上界。用以上的四个定理时，最终都是要找出一个点，使它是数集的上确界。

如要证紧敛性定理，无论是确界定理从正面推，还是区间套定理和有限覆盖定理从反面证，都需要用到数列{xn}有无穷多项这个条件。

二．同一定理对另一定理的证明

1． 要证一个定理，即使用同一个基本定理，也可能有不同的方法。以下分别用两种方法完成“单调

有界定理→紧致性定理”和“区间套定理→柯西收敛定理”。 ⑴单调有界定理→紧致性定理

证法一：由上一部分的论述，我们知道，用单调有界定理证明紧致性定理，可以用二分法，本质

上用区间套去证明紧致性定理。

证法二：首先证明有界数列{an}有单调子数列。

称其中的项an有性质M，若对每个i的最大数。 分两种情形讨论：

n，都有an ai，也就是说，an是集合{ai|i n}