实数连续性循环证明及相互证明(5)

实数连续性循环证明及相互证明

即成为[a，b]的覆盖。

5．确界定理→紧致性定理

b0 A，与r=supA矛盾。定理证完。

证明：设数列{xn}是有界数列。定义数集A={x|{xn}中大于x的点有无穷多个}

{xn}有界 A有上界且非空。由确界定理可得 r,使r=supA。

则 0，有r 不是A的上界。 {xn}中大于r 的项有无穷多个。 r 是A的上界 {xn}中大于r 的项只有有限个。

在（r ，r ）中有{xn}的无穷多项，即

对 1， n1，使xn

1

，即|xn （r 1，r 1）

使xn n N， 0, n，-r| 1

（r ，r ）

1

取 1， n2 n1，有|xn-r| 1， 如此继续下去，

2

2

2

取 1， nk nk 1，有|xn-r| 1，由此得到{xn}的子数列{xn}，当k 时，xn

kkk

k

k

r

{xn}存在收敛子数列。定理证完

四．用区间套定理证明其它定理

1．区间套定理 实数基本定理

证明：对给定R的一个分划A|B，任取a1 A，b1 B，用a1，b1的中点a1 b1二等分[a1，b1]，

2如果a1 b1 B，则取[a2，b2]=[a1， a1 b1]；

22

如果a1 b1 A，则取[a2，b2]=[a1 b1，b1]； 如此继续下去，便得区间套[an，bn]。 22其中， n，an A，bn B。由区间套定理可得， 唯一的r 由分划定义可知， a A有a bn，令n ，有a

[a

n 1

n

liman=limbn= r。,bn]，使n

n

r， b B，有an

b有r b，

满足a r b的r是唯一的。证明同用单调有界定理对实数基本定理的证明（即二。1）。定理证完。

2．区间套定理 单调有界定理

证明：设{xn}是单调上升有上界的实数列。b是它的一个上界，令a1=x1-1，二等分[a1，b1]，其中必有一区间含{xn}的无穷多项，记其为[a2，b2]，二等分[a2，b2]， 如此继续下去，便得区间套[an，bn]，满足 n，[an，bn]含{xn}的无穷多项。由区间套定理可得， 唯一的liman=limbn= r。则对 0, n， n N，有r [an,bn]，使n

n

n 1

r an bn r 。

取n0 N，[an，bn]含{xn}的无穷多项，则 M，使xM [an，bn]。