实数连续性循环证明及相互证明(2)

实数连续性循环证明及相互证明

若数列{xn}单调下降有下界，令

yn=-xn，则{yn}单调上升有上界，从而有极限，设极限为r，则

n

limxn=lim（-yn）=-r。定理证完。

n

2.实数基本定理 确界定理

证明：设X是有上界的非空实数集，记B为X的全体上界组成的集合。A= R﹨B，则A|B构成实数的一个分划。事实上，不空，不漏显然。而对 a A，b B，由a不是X的上界，知有x0 X，使得x0而由b B，知x0

a，

b，故a b。

x0 r

2

由实数基本定理， A|B是实数的一个分划， r R,使得对 a A，b B，有a r b。 下证r=supX。首先证明r是X的上界。用反证法。如果不然，则有x0 X，使得x0a=

r，这时有a=

x0 r

A，且有a r，这是不可能的。因此r是X的上界，而由于 b B，2

有r b，

r是X的最小上界。

同理可证下确界的情形。定理证完。

3．实数基本定理 区间套定理 证明：设｛[an,

bn]｝是一个区间套，令A {x| n,x an}，B R\A，则A|B是R的一个分划。事

实上a1 A，b1 1 B，即A,B非空；由B的定义，A,B不漏； a A， b B，则 ， n,b an，故a b，即A,B不乱。故A|B确是R的一个分划。由实数连续性定理，存在唯一的实数r，使得 a A，

b B，有a r b。

下证r

a因为 n，由A的定义， [a,b]。

n

n

n 1

n

A，故an r。又 n,m，有am bn，则bn B，

从而r bn。即r [an,bn]。

n 1

最后证明唯一性。若有r,r 满足r [an,bn]，r

n 1

[a

n 1

n

,bn]，则

|r r | bn an 0(n )

故r r 。即这样的r是唯一的。定理证完。

二．用单调有界定理证明其它定理

1． 单调有界定理→实数基本定理

证明：给定实数的一个分划，任取a1 A，b1 B。用a1，b1的中点a1 b1二等分[a1，b1]，如果

2a1 b1 B，则取a=a， b=a1 b1；如果a1 b1 A，则取a=a1 b1，b=b； 如

221122

2222

此继续下去，便得两串序列{an}{bn}。其中an A单调上升有上界（例如b1），bn B单调下降有下界