实数连续性循环证明及相互证明(7)

实数连续性循环证明及相互证明

等分[a1，b1]，其中必有一区间含{xn}的无穷多项，记其为[a2，b2]，二等分[a2，b2]， 如此继续下去，便得区间套[an，bn]，满足 n，[an，bn]含{xn}的无穷多项。由区间套定理可得， 唯一的r

[a

n 1

n

liman=limbn= r。 ,bn]，使n

n

因此 n1，使r 1 an r bn r 1。

11

这时存在xn

1

[an，bn]，归纳地， k 1， nk，使r 1 an r bn r 1

1

1

k

kk

k

由[an,bn]含{xn}的无穷多项，知

kk令k ，lim

xnk [an,bn]，nk nk 1，由an xn bn，

k

k

knk

n

xnk r。 {xn}存在收敛子数列。定理证完

五．用有限覆盖定理证明其它定理

1．有限覆盖定理 区间套定理

证明：用反证法。如果不然，设存在{[an，bn]}，有

[a

n 1

n

,bn] 。记开区间( n, n)=

（a1 1，( n', n')=（bn，b1 1），即( n, n) ( n', n')=（a1 1，b1 1）\[an，，an）

bn]。这时E={( n, n)，( n', n')，n=1，2， }构成了[a1，b1]的覆盖。由有限覆盖定理，存在N，使得

(

n 1

N

n

[b1]，这就推出，当 n N时，[an，bn]是空集，这是, n) ( n', n') a1，

不可能的。矛盾，故有

[an,bn] ，即存在r使r

n 1

[a

n 1

n

,bn]。

唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。

2．有限覆盖定理 紧致性定理 证明：设 n，有 a xn b。

先证 x0 [a，b]， 0,,(x0 ,x0 )中必含有xn的无限项。 如果不然。 x [a，b]， x 0，使(x x,x x)只含{xn}的有限项。 记E={(x x,x x)|x [a，b]， x由上产生}，是[a，b]的一个覆盖。 由有限覆盖定理，知 E中有限个开区间（x1 1,x1 1）(x2 2,x2 2)

(xn n,xn n)， {xi i,xi i}均只含{xn}的有限项。与 n，有 a xn b矛盾。

结论成立。

特别地，取 k=1，则

k

，而且nk nk 1，则{xn}为{xn}的子数列且收xnk （x0-1，x0+1）k

k

k

敛于x0。定理证完