实数连续性循环证明及相互证明(6)

实数连续性循环证明及相互证明

当m M时，有xm [an，bn]。如果不然， m1 M，有bn

000 xm1，则在[an

，bn]中最多只有{xn}

的前m1项，与 [an，bn]的构造矛盾。从而当m M时，有r an xm bn r ，即

0000|xm-r| 。 lim

n

xM=r，即limxn=r。定理证完。

n

3.区间套定理 确界定理

证明：由数集A非空，知 a A，不妨设a不是A的上界，另外，知 b是A的上界，记[a1，b1]=[a， 用a1，如果a1 b1是A的上界，则取[a2，b]，b1]，b1的中点a1 b1二等分[a1，b2]=[a1a1 b1]；

222如果a1 b1不是A的上界，则取[a2，b2]=[a1 b1，b1]；用a2，b2的中点a2 b2二等分[a2，

222

b2] 如此继续下去，便得区间套[an，bn]。其中an不是A的上界，bn是A的上界。由区间套定理可得， 唯一的r

[a

n 1

n

， liman=limbn= r。 x A，由x bn（n=1，2， ）,bn]，使n

n

令n ，x limbn= r r是A的上界。

n

而 0, 由liman= r知 0,知 N，当n N，有r an，

n

从而 X A，使r an X， r=supA。 同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完。

4．区间套定理 有限覆盖定理

证明：用反证法。设E是闭区间[a，b]的一个覆盖。设[a，b]没有E的有限子覆盖，记[a，b]=[a1，二等分[a1，其中必有一区间没有E的有限子覆盖，记其为[a2，二等分[a2， b1]，b1]，b2]，b2]，如此继续下去，便得区间套{[an，bn]}，满足 n，[an，bn]没有E的有限子覆盖。由区间套定理可得， 唯一的r

[a

n 1

n

liman=limbn= r。 ,bn]，使n

n

由E是[a，b]的覆盖，知 ( , ) E，使 r 根据极限不等式， N1，当n N1，有 an，

，当n N2，有 bn。 N2

取N=max（N1，N2），当n N，有 an， bn。又an r bn（ n），

当n

5．区间套定理 紧致性定理

证明：已知 a，b，使a xn b。设[a，b]没有E的有限子覆盖，记[a，b]=[a1，b1]，二

N，有[an，bn] ( , )，与[an，bn]没有E的有限子覆盖矛盾。

故[a，b]在E中存在有限子覆盖。定理证完。