实数连续性循环证明及相互证明(3)

实数连续性循环证明及相互证明

（例如a1）并且bn an=b1 a1(n )。由单调有界定理，知 r，使liman= r

n 2

n

lim（bn an）=0 liman+（bn an）= r

n

a A，有a bn（n=1，2， ），令n ，知a r

b B，有an

， 令n ，知 r b a r b b（n=1，2， ）

下面证明唯一性。

用反证法。如果不然。则 r1 r2，同时对任意 a A，a r1，a r2 对任意b 有b r1 b r2，不妨设r1 r2，

令 r' r1 r2显然 r1 r' r2 r' A，r' B，

2这与A|B是R的一个分划矛盾。 唯一性得证。定理证完。

2．单调有界定理→确界定理

证明：已知实数集A非空。 a A，不妨设a不是A的上界，另外，知 b是A的上界，记a1=a，

b1=b，用a1，b1的中点a1 b1二等分[a1，b1]，如果a1 b1 B，则取a2=a1， b2=a1 b1；

222如果a1 b1 A，则取a2=a1 b1，b2=b1； 如此继续下去，便得两串序列{an}{bn}。其中an A

22单调上升有上界（例如b1），bn B单调下降有下界（例如a1）并且bn an=b1 a1(n )。由

2单调有界定理，知 r，使liman= r。由lim（bn an）=0 有liman+（bn an）= r

n

n n

， {bn}是A的上界， x A，有x bn（n=1，2， ）令n ，x limbn= r r是A的上界。

n

而 0, 由liman= r知 0,知 N，当n N，有r an，

n

从而 X A，使r an X， r=supA。 同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完。

3．单调有界定理 区间套定理 证明：已知an

， an bn b1， 由单调有界定理知{an}存在极限，设liman= r， an 1（ n）

n

同理可知{bn}存在极限，设limbn=r ，由lim（bn an）=0得r r =0即r r

n

n

n，有an bn，令n ，有an r

r

bn， n，有an r bn。

唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。定理证完。