实数连续性循环证明及相互证明(8)

实数连续性循环证明及相互证明

六．用紧致性定理证明其它定理

1．紧致性定理 单调有界定理

证明：设{xn}是单调上升有上界的实数列。 {xn}有界，由紧致性定理可得， {xn}的子数列{xn且收敛于r。即 0， K，当k K时，有|xn-r| ，即r

k

k

}

xnk r ，

N=nK 1， n N，有xn

xnK 1 r 。

nk

， n

N， nk' n，从而 xn xn' r ，即|xn-r| 。

k

0， N=nK 1，当n nK 1，有|xn-r| ， limxn=r。定理证完。

n

2．紧致性定理 柯西收敛定理

证明：必要性。已知{xn}收敛，即 r R，lim因此，只要n

n

即 xn=r，

当n N， 0，

N，有|xn-r| 。

2

N，m N，有|xn-xm|=|xn-r+r-xm| |xn-r|+|r-xm| 。

N，m N，有|xn-xm| 1。

充分性。先证{xn}有界。对 1， N，当n取定n0=N+1，则只要n

N，有|xn-xn0| 1，从而|xn|=|xn-xn0+xn0| 1+|xn0|，

令M=max（|x1|， ，|xN|，1+|xn|），则|xn| M（ n）。

下证{xn}有极限存在。 {xn}有界，由紧致性定理可得， {xn}的子数列{xn即 0， K，当k K时，有|xn-r| 。

k

2

k

}且收敛于r。

另外， N1，当n N1，m N1，有|xn-xm|

。

2

取N=max（nK 1，N1），则只要n|xn-xk|+|xk-r| 。 lim00

N，取k0 N，则|xn-r|=|xn-xk0+xk0-r|=

n

xn=r。定理证完。

七．用柯西收敛定理证明其它定理

1．柯西收敛定理 单调有界定理

证明：设{xn}是单调上升有上界的实数列。用反证法和柯西收敛定理。若{xn}不存在极限。则 0 0， N，

n N，有xn-xN=|xn-xN| 。