实数连续性循环证明及相互证明(14)

实数连续性循环证明及相互证明

取M=1， n1，使|xn| 1，取M=max（|x1|， ，|xn|，2）， n2，使|xn|

1

1

2

2 。

如此继续下去，得到数列{xn}

k

k，且 k，|xk| |xk 1|

k

在（ ，0）和（0， ）上至少有一个区间存在{xn}的无穷多项，若在（0， ）上，将属于（ ，0）的项除去，便得一单调上升的子列。 同理，若在（ ，0）上，便可得一下降的子列。

这个结论虽然与实数系无关，但将它用于有界数列，再利用单调有界定理，就可以得到紧致性定理。

至此，本文已经论述了以下定理的等价证明过程：

正如在任何语言中，同一思想可以用多种表达方法一样，同一个数学事实可以有不同的表达方式和不同的证明方法。而在证明过程中，我们不只检验了定理，而且对定理有了更深的理解。不同的证明还启迪了我们的思维，交流了数学思想，导致了我们的发现。我想，随着对数学的深入学习，数学呈现给我们的是一个更加精彩的世界，其中的发现更是无穷无尽的。

参考文献：

1．邓东皋 尹小玲《数学分析简明教程》高等教育出版社 1999年6月

2．谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边防 《数学分析习题讲义》 高等教育出版社 2003年