实数连续性循环证明及相互证明(12)

实数连续性循环证明及相互证明

每个闭区间含有数列{xn}的无限多项；而三分法，不仅具有bn 1-an 1=

2(bn an)

，

3

也保证了点r唯一，更是用到了基本列的性质，使每个闭区间包含从某项起的所有项。

2． 用同一种方法证明同一个定理，还可能有不同的细节

⑴如在用单调有界定理证明实数基本定理，当证完liman=limbn=r

n

n

要证 a A， b B有a r b，按照前面的证法，是：

a A，有a bn（n=1，2， ），令n ，知a r

b B，有an

， b（n=1，2， ）令n ，知 r b a r b

还可以用另一种证法证明： a A， b B有a r b，这等价于证明：

a，b满足a r ，r b

使a an

，有a A，b B。事实上， a

r，由lim

n

an=r，知 n0，

A，故a A，而对

1

b r，由bn=an+

bn an

2

，知limbn=r

n

n，使得b bn

B，从而b B

⑵如在证区间套定理过程中，当证完liman=limbn，即r r ，

n

n

要证 n，an r bn，用单调有界定理（二.3）证明过程中是用到极限不等式。而用确界定

n

理（三.3）在证明过程中，则是由确界定理对单调有界定理证明的一个结论。得出liman= sup{an}，limbn =inf{bn}，再由确界定义去证明。

n

三．定理作为工具运用的特点

1．确界定理：构造数集，使其具有某种性质，并将这种性质传递到数集的确界，使确界之后的数不

可能具备该性质。

2．区间套定理：从构造过程中，使某种性质从第一个区间开始传递到第二个闭区间，再从第二个区

间推到第三个区间 。如此继续下去，直到将这个性质聚到区间套所共有的点的任意附近。

3．紧致性定理：从数列的极限理论，我们知道收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。在一系

列需要构造收敛数列的分析问题中，往往一开始构造一个有界数列，然后由紧致性定理得出子列，也即紧致性定理，让我们从“混乱”的数列中找出了“秩序”。

4．有限覆盖定理：在分析问题过程中，往往可以从局部性质推向整体性质，特别是将有限覆盖与反

证法相结合，往往可以推出矛盾。

5．柯西收敛定理：完全人数列本身出发，由于它给出的是极限存在的充分必要条件，不需要先假定

极限的存在，相比极限的定义来说，这是一个很大的进步。